Сложение и вычитание отрицательных и положительных чисел — правило, формулы и примеры

Сложение и вычитание отрицательных и положительных чисел — правило, формулы и примеры

Впервые знакомство с отрицательными числами происходит в школьном курсе в 6 классе, иногда раньше. Число со знаком «+» называется положительным, противоположное — отрицательным.

Чтобы понять, что такое сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел, достаточно воспользоваться координатной прямой. Например, сумма чисел -18 и 2. Сначала отмечаем на координатном отрезке число (-18), откладываем от него вправо, соответствующие масштабу, 2 единичных отрезка, и получаем на координатном луче число -16.

Правило сложения отрицательных чисел и чисел с разными знаками

Для суммирования двух отрицательных чисел, необходимо:

суммировать их модули;

перед полученной суммой поставить знак «минус».

Например, сложение чисел -9 и -6 будет выглядеть следующим образом:

-9 + (-6) = -15

В данном случае, складываем модули 9 и 6, и перед получившимся натуральным числом 15 ставим знак «-«.

Сложение рациональных или дробных чисел выполняется аналогичным способом:

-26,35 + (-25,35) = -(26,35 + 25,35) = -51,75

К 26,35 прибавляем 25,35 (т. е. мы складываем модули), в итоге получаем 51,75 с отрицательным значением. Перед ним ставим знак «минус».

Для суммирования натуральных чисел со знаками «+» и «-», надо:

из слагаемого с большим значением модуля вычесть слагаемое с меньшим значением;

перед полученным результатом поставить знак того слагаемого, которое имело большее значение.

Пример:

61,2 + (-31,5) = + (61,2 — 31,5) = 30,5

Модуль большего числа со знаком «+», соответственно, сумма получилась положительная:

-81 + 35 = -(81 — 35) = 46

Большее число со знаком «-», поэтому заменяем плюс на минус и получаем отрицательный ответ.

Как вычитать отрицательные и положительные числа

Для нахождения разности противоположных чисел, надо к уменьшаемому прибавить вычитаемое с противоположным знаком, то есть заменить разность суммой.

Наглядно данное действие лучше представить в виде формулы:

a — b = a + (-b)

То есть любое выражение, содержащее знаки сложения и вычитания, следует решать как сумму чисел.

Умножение и деление положительных и отрицательных чисел. Тема урока «Умножение и деление положительных и отрицательных чисел».

Цель: создание условий для внутренней рефлексии обучающимися собственных достижений и затруднений по изученной ранее теме «Умножение и деление положительных и отрицательных чисел», формирование у участников образовательного процесса следующих компетенций: предметных, метапредметных, коммуникативных, рефлексивных, здоровьесберегающих, выстраивание учащимися индивидуального пути продвижения по указанной выше теме.

  Задачи урока -

образовательные: предметные

закрепление правильного использования в речи следующих математических терминов: модуль числа, положительные числа, отрицательные числа, произведение чисел, частное чисел через использование технологий «Незаконченное предложение», «Запоминаю термины».

закрепление умения решать практические задачи на основе ранее изученного материала.

расширение познавательной сферы обучающихся через знакомство сименами греческого математика Диофанта и индийского математика Бхаскары и их вкладом развития науки математики.

Развитие логического мышления, памяти через выполнение тестовых заданий при работе с учебными понятиями, определениями;

Развитие эмоциональной сферы воспитанников через применение активных форм ведения урока, в том числе и ИКТ.

Развитие рефлексивных умений через проведение анализа результатов урока и самоанализа собственных достижений на нём.

Развитие речи как показателя интеллектуального и общего развития ученика через представление собственных достижений на этапах урока.

воспитательные : личностные

Развитие коммуникативных умений обучающихся через организацию парной и фронтальной работы на уроке.

Развитие у обучающихся чувства собственного достоинства, способностей к преодолению трудностей, умения ориентироваться в социальной среде.

Формирование здоровьесберегающих компетенций через разного рода физкультминутки.

Ход урока

1. Организационно-мотивационный момент.

Учитель: Настал новый день. Я улыбнулась вам, а вы улыбнитесь друг другу и подумайте, как хорошо, что мы сегодня здесь все вместе. Мы спокойны и добры, приветливы. Сделайте глубокий вдох через нос и вдохните в себя доброту, красоту, свежесть наступающего дня. Сделайте глубокий вдох, задержите дыхание… А теперь выдохните через рот все обиды, злобу и огорчения. Повторите это упражнение три раза. Вдохните…, выдохните…

Я, Юлия Сергеевна, говорю вам, здравствуйте, желая здоровья.

Мы здоровы, а значит, можем сегодня отправиться в путешествие в загадочную страну « Числяндия ». (Слайд 1) Пока мы настраиваемся на долгую интересную дорогу, поиграем в игру на внимание и память. Я назову вам слова, а вы должны их запомнить и записать. Кто больше запомнит, тот и победит.

Вычитание отрицательных чисел

Как известно вычитание — это действие, противоположное сложению.

a − b = с или с + b = a

Определение вычитания сохраняется для всех рациональных чисел. То есть вычитание положительных и отрицательных чисел можно заменить сложением.

Запомните!

Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число противоположное вычитаемому.

Или по другому можно сказать, что вычитание числа « b » — это тоже самое сложение, но с числом противоположным числу « b ».

a − b = a + (−b)

Пример.

6 − 8 = 6 + (− 8) = −2

Пример.

0 − 2 = 0 + (−2) = −2

Правила вычитания отрицательных чисел

Как видно из примеров выше вычитание числа « b » — это сложение с числом противоположным числу « b ».

Это правило сохраняется не только при вычитании из бóльшего числа меньшего, но и позволяет из меньшего числа вычесть большее число, то есть всегда можно найти разность двух чисел.

Разность может быть положительным числом, отрицательным числом или числом ноль.

Примеры вычитания отрицательных и положительных чисел .

• −3 − (+ 4) = −3 + (−4) = −7
• −6 − (−7) = −6 + (+ 7) = 1
• 5 − (−3) = 5 + (+ 3) = 8

Удобно запомнить правило знаков , которое позволяет уменьшить количество скобок.

Знак «плюс» не изменяет знака числа, поэтому, если перед скобкой стоит плюс, то знак в скобках не меняется.

+ (+ a) = + a
+ (−a) = −a

Знак «минус» перед скобками меняет знак числа в скобках на противоположный.

−(+ a) = − a
−(−a) = + a

Из равенств видно, что если перед и внутри скобок стоят одинаковые знаки, то получаем « + », а если знаки разные, то получаем « − ».

(−6) + (+ 2) − (−10) − (− 1) + (− 7) = −6 + 2 + 10 + 1 − 7 = − 13 + 13 = 0

Правило знаков сохраняется и в том случае, если в скобках не одно число, а алгебраическая сумма чисел.

a − (− b + c) + (d − k + n) = a + b − c + d − k + n

Обратите внимание, если в скобках стоит несколько чисел и перед скобками стоит знак «минус», то должны меняться знаки перед всеми числами в этих скобках.

Чтобы запомнить правило знаков можно составить таблицу определения знаков числа.

Правило знаков для чисел

Или выучить простое правило.

Сложение и вычитание чисел с разными знаками таблица. Основное правило сложения положительных и отрицательных чисел

При сложении положительных и отрицательных чисел используют понятие модуля.

Модуль — расстояние на координатной прямой от начала отсчета до заданного значения.

Обозначается двумя вертикальными чертами: | |. Первая черта открывает модуль, вторая — закрывает.

Модуль всегда положительный, потому что расстояние не является отрицательной величиной.

Например, модуль числа 5 равен 5. Пишут:$\left(5\right)=5$. Значит, координата числа пять находится в 5 единицах от начала отсчета — от нуля.

Модуль числа -5 равен 5. Пишут:. Число -5 также находится на расстоянии 5 единичных отрезков от нуля на координатной прямой.

Выделяют правила сложения чисел с одинаковыми знаками:

Выполните сложение: -56+(-34).

Решение.

Даны два отрицательных числа. По правилу вначале после знака равенства ставим знак минус, открываем скобку и складываем модули чисел, закрываем скобку:

Потом упрощаем выражение в скобках, раскрывая модули:

И остается только сложить числа в скобках: -(56+34)=-90.

Решение.

Чтобы решать подобные примеры, вначале переводят выражение в явную сумму двух чисел с одинаковыми знаками: -78-76=(-78)+(-76). Теперь действуют по правилу: ставят знак минус и складывают модули чисел.

Правило сложения чисел с разными знаками

Чтобы сложить два числа с разными знаками, действуют по алгоритму:

1. Находят число, которое по модулю больше.
2. После знака равенства ставят знак числа, которое больше по модулю.

1. Ставят после знака равенства знак большего модуля: модуль числа -45 меньше модуля числа 56, значит, нужно поставить знак плюс: -45+56=+…
2. В скобках записывают разницу модулей: от большего модуля числа отнимают меньший модуль.

-45+56=+(56-45)=11.

Знак плюс в конечном ответе нужно опустить.

Записывают ответ.

Сложение вычитание отрицательных чисел. Сложение и вычитание отрицательных чисел – правила (6 класс, математика)

Отрицательные числа для многих учеников навсегда остаются загадочной частью математики. Всех нас с начальной школы приучают, что отрицательные числа – это неправильно решенный пример, позднее во взрослой жизни отрицательные числа все так же продолжают пугать, что вызывает большое количество ошибок. Чтобы не допускать оплошностей в будущем рассмотрим во всех подробностях правила сложения и вычитания отрицательных чисел.

Отрицательные числа

Отрицательные числа это всего лишь числа, которые находятся слева от точки нуля на числовой прямой. Вот и все определение. Его нетрудно запомнить, но трудно понять. Ведь в реальной жизни отрицательных чисел практически нет: нельзя себе представить – 2 яблока или – 3 ручки. Можно понять, что такое реальное число, что такое отсутствие чисел, но что такое отрицательные числа понять куда труднее.

На самом деле можно представить себе любое отрицательное число, как недостаток до нуля. Например, – 3 значит, что при вычитании уменьшаемому не хватило трех единиц, чтобы выйти в ноль. Чаще всего это встречается в бухгалтерских отчетах и финансовых сводках.

Правило знаков

В этой теме часто встречается понятие правила знаков, которое изучается в курсе математики 6 класса. Стоит подробнее остановится на этом вопросе.

На самом деле правило знаков это производная от правил умножения отрицательных и положительных чисел. Например:

6-(-6)=6+(-1*-1*6)=6+6 – но расписывать так каждый раз слишком долго, поэтому проще запомнить один раз, что умножение минуса на минус и плюса на плюс дает знак плюс. А умножение плюса на минус – минус. Этим правило просто запомнить, чтобы не мучиться каждый раз с вынесением множителей.

Сложение и вычитание отрицательных чисел

Рассмотрим в отдельности каждую из операций, чтобы не вызывать лишних вопросов.

Сложение отрицательных чисел

Сложение может происходить между:

• Двумя отрицательными числами .

  В этом случае минус выносится за знак скобок, числа складываются, а затем минус возвращается на место.

• Отрицательным и положительным числом . В этом случае, слагаемые меняются местами и получается обычная операция вычитания положительных чисел.
• Положительным и отрицательным числом . Согласно правилу знаков: «плюс на минус будет минус», а значит путем такого преобразования сложение превращается в вычитание положительных чисел.

Вычитание отрицательных чисел

Вычитание может происходить между:

• Двумя отрицательными числами . В этом случае «минус на минус» дает плюс. После этого, мы увидим выражение из предыдущего пункта, то есть сложение отрицательного числа с положительным. Нужно поменять числа местами и выполнить вычитание.
• Отрицательным и положительным числом. В этом случае получается та же ситуация, что при сложении двух отрицательных чисел. Так как, минус на плюс дает минус. Получившиеся числа складываются по модулю, а потом к результату возвращают минус.
• Положительным и отрицательным числом . Этот случай больше прочих любим составителями примеров. В результате преобразования по правилу знаков: «минус на минус» дает плюс. Значит, получится сложение двух положительных чисел.

Стоит добавить, что сложение или вычитание нуля никак не повлияет на отрицательное число. При этом, если из нуля вычесть число, то оно изменит свой знак на противоположный.

Что мы узнали?

Мы поговорили о том, что такое отрицательное число. Выяснили, чем отличается сложение и вычитание отрицательных чисел, и подробно расписали каждый из возможных случаев.

Сложение отрицательных чисел. Что такое отрицательные числа

Отрицательное число является компонентом множества из отрицательных чисел, сформированного в процессе увеличения множества натуральных чисел.

Расширение спектра натуральных чисел потребовалось для зачисления операции вычитания в перечень полноценных арифметических действий таких, как сложение. При рассмотрении натуральных чисел можно заметить, что вычитание предполагает всегда уменьшение большего числа на меньшее число. Переместительный закон на действия с вычитанием не распространяется.

Вычитать можно любые натуральные числа, так как к натуральным числам добавили отрицательные числа и нуль. В итоге такой трансформации получилось множество, которое состояло из целых чисел. В дальнейшем числовые множества пополнились за счет рациональных и вещественных чисел, которые также могут обладать отрицательными значениями. Понятие отрицательного числа не применимо к комплексным числам.