Решение неравенств через метод интервалов. Как решить квадратное неравенство

Решение неравенств через метод интервалов. Как решить квадратное неравенство

В предыдущих уроках мы разбирали, как решать. Но в отличие от линейных неравенств квадратные решаются совсем иным образом.

Для решения квадратного неравенства используется специальный способ, который называется методом интервалов .

Что такое метод интервалов

Методом интервалов называют специальный способ решения квадратных неравенств. Ниже мы объясним, как использовать этот метод и почему он получил такое название.

Запомните!

Чтобы решить квадратное неравенство методом интервалов нужно:

1. перенести все члены неравенства в левую часть, так чтобы в правой остался только ноль;
2. сделать так, чтобы при неизвестном « x² » стоял положительный коэффициент;
3. приравнять левую часть неравенства к нулю и решить полученное квадратное уравнение;
4. полученные корни уравнения разместить на числовой оси в порядке возрастания;
5. нарисовать «арки» для интервалов. Справа налево, начиная с « + », проставить чередуя знаки « + » и « − »;
6. выбрать необходимые интервалы и записать их в ответ.

Мы понимаем, что правила, описанные выше, трудно воспринимать только в теории, поэтому сразу рассмотрим пример решения квадратного неравенства по алгоритму выше.

Требуется решить квадратное неравенство.

x²+ x − 12

Итак, согласномы должны перенести все члены неравенства в левую часть, так чтобы в правой остался только ноль. В заданном неравенстве « x²+ x − 12 » ничего дополнительно делать не требуется, так как в правой части и так уже стоит ноль.

Переходим к. Необходимо сделать так, чтобы перед « x² » стоял положительный коэффициент. В неравенстве « x²+ x − 12 » при « x² » стоит положительный коэффициент « 1

Согласноприравняем левую часть неравенства к нулю и решим полученное квадратное уравнение.

отметим полученные корни на числовой оси в порядке возрастания.

Помните, что, исходя их того, какое перед нами неравенство (строгое или нестрогое) мы отмечаем точки на числовой оси.

Теперь, как сказано в, нарисуем «арки» над интервалами между отмеченными точками.

Проставим знаки внутри интервалов. чередуя, начиная с « », отметим знаки.

Нам осталось только выполнить, то есть выбрать нужные интервалы и записать их в ответ. Вернемся к нашему неравенству.

Так как в нашем неравенстве, значит, нам требуются интервалы. Заштрихуем все отрицательные области на числовой оси и выпишем их в ответ.

Отрицательным интервалом оказался лишь один, который находится между числами « » и « », поэтому запишем его в ответ в виде двойного неравенства

Запишем полученный ответ квадратного неравенства.

Решение неравенств методом интервалов онлайн. Как решать неравенства

Любое неравенство или система неравенств может быть решена на нашем сайте используя Калькулятор за пару секунд. Решить неравенство с помощью калькулятора просто. Чтобы ввести неравенство, нажмите «+условие»

Например:

x+5

Нажав кнопку Решить вы получите подробное решение неравенств .

Неравенством в математике именуют все уравнения, где знак "=" заменяется на любой из этих значков: \ \> \ \

* линейным;

* квадратным;

* дробным;

* показательным;

* тригонометрическим;

* логарифмическим.

В зависимости от этого и неравенства называются линейными, дробными и т.д.

Об этих знаках нужно знать следующее:

* неравенства со значком больше (>), или меньше (

* неравенства со значками больше или равно \, меньше или равно \ называются нестрогими;

* значок не равно \ стоит особняком, но решать примеры с таким значком тоже приходится постоянно.

Неравенства также можно разделить на верные неравенства и неверные неравенства . Например на уроке в школе вы можете часто услышать "запишите верное неравенство"

Как решить неравенство ?

Решаются данного рода неравенства при помощи тождественных преобразований.

Допустим, дано неравенство такого вида:

\ 5x-5\>

Оно решается точно так же, как и линейное уравнение, но необходимо внимательно следить за знаком неравенства. Изначально выполним перенос членов с неизвестной в левую сторону, с известной в правую, меняя знаки на противоположные:

\ -5-3\>

\ -8\>

Далее выполним деление обеих частей на -4 и меняем знак неравенства на противоположный:

\

Это и будет неравенства решение.

Решение неравенств методом интервалов примеры. В чем суть решения неравенств методом интервалов

Метод интервалов в алгебре отличается удобством и эффективностью применения при решении заданий на неравенства, которые записаны в видеВ этом случае$$представляет собой рациональную функцию, а на месте знака «>» может быть подставлены знаки «». Метод применим к решению следующих неравенств:

• линейные;
• квадратные;
• дробно-рациональные.

— какой-то промежуток, отмеченный на числовой прямой, включает в себя все вероятные числа, которые расположены на этой прямой между двумя определенными числами, играющими роли концов интервала.

Мысленно вообразить интервал и решать с его помощью задачи достаточно сложно. В связи с этим интервалы принято изображать.

Смысл методики самостоятельного решения неравенств методом интервалов состоит в разложении выражения на множители, поиске области допустимых значений и определении знака, который имеют сомножители. Рассмотрим на примере неравенства:

Исходя из отсутствия деления на переменную и радикалов, можно пропустить шаг определения ОДЗ. Разложение на множители также в данном случае не требуется.

Заметим, что слева выражение обладает значением, которое больше нуля в том случае, когда оба выражения в скобках больше или меньше нуля. Это объясняется тем, что «плюс» на «плюс» дает «плюс» и «минус» на «минус» дает «плюс». Когда выражения в скобках обладают разными знаками, слева выражение имеет значение, меньше нуля.

Таким образом, нужно определить знаки. Для этого решим уравнение, которое было бы аналогично неравенству, но вместо знака «>» оно содержит знак равенства. С помощью корней такого уравнения можно в дальнейшем вычислить пограничные значения, при отступлении x от которых множителии

основан на такой последовательности действий:

1. для определения нулей функции. Когда функция дробно-рациональная, требуется определить нули числителя и нули знаменателя.
2. Перенос полученных значений на числовую ось. Нули для знаменателя в любом случае являются выколотыми точками. Нули числителя, выколотые в том случае, если неравенство является строгим, закрашенные при нестрогом неравенстве.
3. В результате числовая ось разбивается на интервалы. В каждом из них нужно определить знак функции$f\left(x\right)$.
4. В том случае, когда переход через закрашенную точку не приводит к изменению знака, данную точку (если она не принадлежит внутренней области в промежутке решения) называют изолированной точкой-решением.

При решении практических примеров по стандартному краткому алгоритму в распространенных случаях возникают трудности со знаками . В этом случае полезно запомнить несколько замечаний:

1. Если функция является непрерывной, смена знака происходит в точках, где она принимает нулевые значения. С помощью таких точек координатная ось разбивается на участки, внутри которых знак функции стабилен. В процессе решения неравенств выполняется поиск корней уравнения, и отмечаются определенные корни на прямой. Это позволяет определить пограничные значения, отделяющие плюсы от минусов.
2. С целью определить знак функции на конкретном интервале нужно выполнить подстановку любого числа из заданного интервала в эту функцию.

Существует ряд недопустимых действий в случае решения неравенств:

• домножение на знаменатель;
• умножение или деление на отрицательное число без смены знака;
• исключение логарифма или основания.